遺傳算法導論：標準與實數編碼框架

遺傳算法（GAs）是一種基於自然演化原理的隨機全域搜尋啟發式方法，特別是達爾文主義的「適者生存」與基因重組原則。

一種反覆進行評估、選擇與繁殖的迭代過程。一個關鍵概念是區分基因型（編碼後的位元字串／染色體）與表現型（實際問題空間中解碼後的決策變數值）。

從二進位字串映射至實數值 $x \in [a, b]$ 的公式如下：

$$x = a + \frac{decimal\_value \times (b - a)}{2^L - 1}$$

其中 $L$ 為染色體的位元長度。

漢明斷崖

請留意標準二進位編碼中的 漢明斷崖——即相鄰的十進位數字（如 7 和 8）具有截然不同的二進位位元模式（0111對比1000），這使得遺傳算法難以執行局部搜尋。

Python 實作：二進位轉實數解碼

問題 1

為什麼格雷碼在遺傳算法中常被優先於標準二進位碼使用？

它需要較少記憶體來儲存染色體。

它確保相鄰的數值僅相差一位元（相鄰性質）。

它會自動將值歸一化至 0 到 1 之間。

它自然地提高了突變率。

問題 2

如果突變機率（p）設得過高（例如：p = 0.5），可能的結果是什麼？

該算法會立即收斂至全域最佳解。

遺傳算法表現得如同隨機搜尋。

案例研究：橋梁組件優化

請閱讀以下情境並回答問題。

您正在優化一座橋梁組件的設計，其中決策變數為「材質厚度」。

1. 若某個體的染色體為0000000000，其解碼後的厚度是多少？

答案：0.0mm
二進位字串 0000000000 在十進位中等於 0。使用公式 $x = a + \frac{decimal \times (b-a)}{2^L - 1}$，可得 $0.0 + \frac{0 \times (10.23 - 0.0)}{1023} = 0.0$。

2. 計算此 10 位元設定下的搜尋精確度（厚度可能最小的變化量）。

答案：0.01mm
精確度定義為範圍除以最大可能的十進位值。$\frac{10.23 - 0}{2^{10} - 1} = \frac{10.23}{1023} = 0.01mm$。

3. 在選擇過程中，個體 A 的適應度為 10，個體 B 的適應度為 30。使用輪盤賭選擇法，選中 B 的機率是多少？

答案：75%
總適應度 = $10 + 30 = 40$。選中 B 的機率 = $\frac{30}{40} = 0.75$，即 75%。（比例為 3:1）。